Derivada como Razón de Cambio y Continuidad de una Función Real

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 1.- EJEMPLO: 1 La función es continua en todos los puntos de su dominio. D = R− {−2,2} La función tiene  dos puntos de discontinuidad en x = −2 y x = 2. 2 La función es continua en toda R menos en los valores que se anula el denominador, si igualamos éste a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad. x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: x=2−√3 y x=2+√3 La función tiene  tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3 y x=2+√3 3 La función es continua en toda   4 |−1 − (−3)| = 2 La función es  discontinua inevitable de salto 2 en x = 0  . 5 En x = 1 hay una discontinuidad de salto finito. 6 La función es  discontinua inevitable de salto 1/2 en x = 0 . 2.- EJEMPLO: Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos x = 1 y x = 2, en los que cambia la forma d...

Continuidad de funciones reales y discontinuidad Funciones reales de una variable real Una función  f  definida sobre un intervalo  I  es  continua  si la curva  que la representa, es decir el conjunto de los puntos ( x ,  f(x) ), con  x  en  I , está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene “hoyos” ni “saltos”. “Cuando empezó a desarrollarse el Cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier  (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de lo...

1.- Ejemplo : . Una mujer que corre a razón constante de 10 km/h cruza un punto P en dirección al norte. Diez minutos después, un hombre que corre a razón constante de 9 km/h cruza por el mismo punto P en dirección al este. ¿Cuán rápido cambia la distancia entre los corredores 20 minutos después de que el hombre cruza por el punto P? Solución. Sean t el tiempo (en horas), x la distancia entre el hombre y el punto P, y la distancia entre la mujer y el punto P y z la distancia entre el hombre y la mujer; todas las distancias se miden en kilómetros. Evidentemente todas estas distancias dependen y crecen en función del tiempo. De acuerdo con los datos del problema se tiene que dx dt = 9 km/h, dy dt = 10 km/h. Se busca dz dt a los 20 min = 1 3 h, o sea, dz dt t=1 3 . Dado que el triángulo HPM en la figura es rectángulo, por el teorema de Pitágoras se tiene que  z2 = x2 + y2 .  Al derivar esta relación implícitamente con respecto a t se tiene que 2z dz dt = 2x ...

DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO    El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero. La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad. Observa que la razón de cambio instantánea es un limite:     Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos calculando el valor de la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los pu...