Continuidad de funciones reales y discontinuidad

Funciones reales de una variable real

Una función f definida sobre un intervalo I es continua si lacurva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene “hoyos” ni “saltos”.

“Cuando empezó a desarrollarse el Cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de función y continuidad.

A pesar de que el significado de la palabra “continuo” parece intuitivamente clara a todo el mundo, no es fácil imaginarse cuál sería una buena definición de esta idea. Un diccionario popular da la siguiente definición de continuidad:

Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo.

Continuo: Que tiene continuidad entre las partes.

f(x)=x2

La continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

DEFINICIÓN:

Continuidad en términos del concepto de limite

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

NOTA: Observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

EJEMPLO:

f(x) = x2 si x <= 2
2x – 4 si x > 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Sin embargo, la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 “por la izquierda”

Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) ylimx->a-f(x) = f(a).

Definición

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) ylimx->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Definición

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b).

DISCONTINUIDAD

f(x)=sgn x

La discontinuidad como se muestra en la gráfica de la función f(x) = sgn x (signo de x), consiste en pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa.

EJEMPLO:

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

Clasificación de discontinuidades

$ Discontinuidad { \color{Red} \left \{ \begin{array}{l} Evitable \\ Esencial { \color{PineGreen} \left \{ \begin{array}{l} De \; primera \; especie { \color{Blue} \left \{ \begin{array}{l} De \; salto \; finito \\ De \; salto \; infinito \\ Asint \acute{o} tica \end{array} \right . }\\ \\ De \; segunda \; especie \end{array} \right . } \\ \end{array} \right . } $

Discontinuidad evitable

Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

$ \left . \begin{array}{r} \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\ \exists f(a) \ne L \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; evitable $

o no existe:

$ \left . \begin{array}{r} \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\ \nexists \; f(a) \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; evitable $

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:

$ \left . \begin{array}{r} \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\ f(a) = L \end{array} \right \} \quad Continua $

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

De salto finito

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

$ \left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{-} \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{+} \\ \\ L^{-} \ne L^{+} \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; de \; salto \; finito $

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

$ Salto = |\lim_{x\to {a}^{-}}f(x)-\lim_{x\to {a}^{+}}f(x)| $

De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

$ \left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; de \; salto \; infinito $

como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

$ \left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; de \; salto \; infinito $

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:

$ \left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; asint \acute{o} tica $

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

ELABORACIÓN:

RUTH RODRIGUEZ

REFERENCIAS:

http://mohasimo.blogspot.com/2012/04/funciones-limites-y-continuidad.html

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