DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO





DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO 

 El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.


La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.



Observa que la razón de cambio instantánea es un limite:
  \begin{equation*} \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right) = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}\right) \end{equation*}
Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos calculando el valor de la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos P(t,y(y)) y Q(t+\Delta t, y(t+\Delta t)). Por otra parte, cuando calculamos la razón de cambio instantánea estamos calculando la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(t) en el punto P(t_0,y(t_0)).
Esa es precisamente la interpretación geométrica de la derivada.

Derivada

La derivada de una función y = f(x) que se denota como y', o bien \displaystyle\frac{dy}{dx} es la razón de cambio instantánea de yrespecto a la variable independiente (x). Específicamente:
  \begin{equation*} y' = \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

cuando ese límite existe.

1.- Ejemplo

Calcula la derivada de la función:
  \begin{equation*} y = 5\,x \end{equation*}
Aplicamos la regla de los cuatro pasos.
Paso 1:
  \begin{equation*} y + \Delta y = 5\,(x + \Delta x) = 5\,x + 5\,(\Delta x) \end{equation*}
Paso 2:
  \begin{equation*} \Delta y = 5\,x + 5\,(\Delta x) - \textcolor{red}{5\,x} = 5\,(\Delta x) \end{equation*}
Paso 3:
  \begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5\,(\Delta x)}{\Delta x} = 5 \end{equation*}
Paso 4:
  \begin{equation*} \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(5\right)} = 5 \end{equation*}
Entonces, si y = 5\,x, su derivada y' = 5.

2.- Ejemplo

Calcula la derivada de la función:
  \begin{equation*} y = 5\,x - 12 \end{equation*}
Evidentemente, vamos a calcular la derivada de y con respecto a x. Asi que aplicaremos la regla de los cuatro pasos.
Paso 1:
  \begin{equation*} y + \Delta y = 5\,(x + \Delta x) - 12 \end{equation*}
Paso 2:
  \begin{eqnarray*} \Delta y &=& 5\,x + 5\,(\Delta x) - 12 - \left[\textcolor{red}{5\,x - 12}\right]\\ &=& 5\,(\Delta x) \end{eqnarray*}
Paso 3:
  \begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5\,(\Delta x)}{\Delta x} = 5 \end{equation*}
Paso 4:
  \begin{equation*} \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(5\right)} = 5 \end{equation*}
Entonces, si y = 5\,x - 12, su derivada es:
  \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 5 \end{equation*}
Si comparamos los últimos dos ejemplos, vemos que dos funciones distintas pueden tener la misma derivada. En particular, su f(x) = 5\,x, y g(x) = 5\,x - 12, la derivada de ambas funciones es la misma:
  \begin{equation*} \frac{df}{dx} = \frac{dg}{dx} = 5 \end{equation*}
Vamos a generalizar este resultado en el siguiente ejemplo.

ELABORACIÓN: RUTH RODRIGUEZ 

REFERENCIAS:

https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/derivada-razon-cambio-instantanea/

https://definicion.de/razon-de-cambio/

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