EJEMPLO DE DERIVADA





1.- Ejemplo :


. Una mujer que corre a razón constante de 10 km/h cruza un punto P en dirección al norte. Diez minutos después, un hombre que corre a razón constante de 9 km/h cruza por el mismo punto P en dirección al este. ¿Cuán rápido cambia la distancia entre los corredores 20 minutos después de que el hombre cruza por el punto P?


Solución. Sean t el tiempo (en horas), x la distancia entre el hombre y el punto P, y la distancia entre la mujer y el punto P y z la distancia entre el hombre y la mujer; todas las distancias se miden en kilómetros. Evidentemente todas estas distancias dependen y crecen en función del tiempo. De acuerdo con los datos del problema se tiene que dx dt = 9 km/h, dy dt = 10 km/h.


Se busca dz dt a los 20 min = 1 3 h, o sea, dz dt t=1 3 .


Dado que el triángulo HPM en la figura es rectángulo, por el teorema de Pitágoras se tiene que
 z2 = x2 + y2 .

 Al derivar esta relación implícitamente con respecto a t se tiene que 2z dz dt = 2x dx dt + 2y dy dt =) z dz dt = x dx dt + y dy dt =) dz dt = 9x + 10y z


El hombre y la mujer se mueven a velocidad constante, por lo cual su movimiento es rectilíneo uniforme: distancia = velocidad ⇥ tiempo. Cuando han transcurrido t = 20 min = 1 3 h el hombre ha recorrido entre los puntos P y H una distancia de
 x t=1 3 = dx dt t t=1 3 = 9 · 1 3 = 3 km.

Debido a que la mujer ha recorrido t = 10 min = 1 6 h más que el hombre, ella ha recorrido entre los puntos P y M una distancia de
 y = dy dt t t=1 6 + dy dt t t=1 3 = 10 · 1 6 + 10 · 1 3 = 10 · 3 6 = 5 km.

Entonces, en t = 1/ 3 h la distancia entre el hombre y la mujer es de z = p 32 + 52 = p 34 km.


Por lo tanto, a las t = 1 3 h la distancia entre el hombre y la mujer aumenta a razón de dz dt t=1 3 = 9x + 10y z t=1 3 = 9 · 3 + 10 · 5 p34 = 77 p34 ⇡ 13,21 km/h.


2.- EJEMPLO:

Desde la parte superior del reloj de arena, ver la figura, la arena cae a razón constante de 4 cm3 /s. Exprese la razón a que crece la altura de la pila inferior en términos de la altura de la arena.

Solución. Sean r el radio y h la altura de la pila inferior de arena en el reloj, las cuales se miden en centímetros. La forma de esta pila de arena es la de un cono truncado, el cual tiene un volumen V , el cual depende de r y h. Evidentemente, el radio y la altura de la pila de arena dependen del tiempo, por lo cual el volumen de la pila de arena depende también del tiempo.

 El dato de este problema es que dV dt = 4 cm3 /s. Se busca dh dt



El volumen V de la pila de arena, en el instante t > 0, es
V = volumen del cono truncado = volumen de cono inferior volumen del cono que no es arena = 1 3 ⇡62 (12) 1 3 ⇡r2 (12 h) = 1 3 ⇡(432 r2 (12 h)).

Se puede eliminar la variable h del problema de la siguiente manera. Como lo muestra la figura, el triángulo rojo es semejante al triángulo azul, siendo las proporciones iguales, 12 h r = 12 6 =) 12 h = 2r =) r = 12 h 2 .

 Por lo tanto, V = ⇡ 3 432 ✓12 h 2 ◆2 (12 h) ! =) V = ⇡ 3 ✓ 432 1 4 (12 h) 3
◆ . Al derivar con respecto a t se tiene que dV dt = ⇡ 3 ✓ 3 4 (12 h) 2 ✓ dh dt ◆◆ =) dV dt = ⇡ 4 (12 h) 2dh dt, dV dt = 4 =) 4 = ⇡ 4 (12 h) 2dh dt =) dh dt = 16 ⇡(12 h)2


ELABORADO POR:
- BARBARA AVILA
-RUTH RODRIGUEZ

REFERENCIAS:
Carrillo,J  (pag.10-14) 
http://matematicas.uis.edu.co/jccarril/Cursos/C1/slides-ln-c1/C1-LN-Cap4-S1.pdf

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